1. 研究目的与意义
自从20世纪初Lebesgue建立了Lebesgue测度和Lebesgue积分以来，在数学的许多领域中，如在实分析、复分析、泛函分析等都产生了极大的影响。它既能保持黎曼积分的几何直观和计算上的有效，又能在积分与极限交换顺序的条件上有较大改善。正因为如此，实变函数把研究对象扩大到定义在可测集上的可测函数，并运用集合论的观点对函数及其定义域做更加细致的剖析。这使得实变函数分析处理问题的思想方法更加活跃，可使微积分在较宽松的环境中加以运用。实变函数和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的广泛应用，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征。
2. 研究内容和预期目标
本文计划讨论Lebesgue积分的重要极限定理及其应用。首先讨论Lebesgue积分和极限的交换问题；然后讨论极限定理（如Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理等等）的应用。
拟解决的问题：
1.浅析Lebesgue积分与Riemann积分的不同，并指出优越性
3. 国内外研究现状
二十世纪初勒贝格开创可列可加测度的积分论，称为实分析。并在概率论、泛函分析学科中广泛应用，勒贝格理论让人感到过于抽象，但抽象性较强的理论往往适用程度较高，在此基础上的概率论和随机过程被称为现代分析。复变函数论继续向前发展形成复分析。以函数空间为背景的泛函和算子理论，开始泛函分析的历程，三角级数论发展成傅里叶分析，二十世纪分析学的另一特征是处理高维空间中曲线和曲面，多变量函数的整体性质，这需要拓扑学知识及代数工具，形成流型上的分析。二十世纪的分析基本上解决了线性空间上的线性算子课题，目前非线性分析已成为最活跃的数学分支之一。
泛函分析的产生使分析学跃上新的高度，希尔伯特空间，巴拿赫空间，广义函数论已成为数学家和物理学家的常识，无限维空间上的微积分学尚未诞生，此外，积分论仍在发展。
勒贝格积分极限理论体系在实变函数中占有十分重要的位置，目前许多研究者的论文中提到了三大极限定理的等价关系及其应用，并进行了深入的探讨。像程其襄等人在《实变函数与泛函分析基础》一书中系统地讲述了勒贝格积分的理论知识及极限定理的等价证明：玛哈提#8226;胡斯曼在《勒贝格积分极限定理记注》一文中，从积分极限定理的内容出发，对积分极限定理的条件及应用展开了讨论；王长辉在《实变函数中几个积分极限定理的应用》中给出了几个极限定理在复函数和实函数中应用的例子；David M Bressoud在《A Radical Approach to Lebesgue''s Theory of Integration》中从黎曼积分的定义开始，强调在不断发展的过程中遇到许多黎曼积分无法解决的问题，指出黎曼积分的不足，从而产生了勒贝格积分。
4. 计划与进度安排
本文是综述性的论文，首先要做的大量工作是收集资料和查阅相关文献。文献资料包含图片，图书，音像和统计资料，找到几篇与研究课题相关的文章阅读，在阅读中了解与此有关的范围及从这些文章所列的参考资料中发现新的线索，再扩大查找对象。然后，对收集的资料进行阅读、整理、归纳出与课题相关的内容。在研究Lebesgue积分的优越性时要注意与Riemann积分的区别与联系，在研究Lebesgue积分与极限交换的充分条件时要注意与一般情况下的对比。最后，根据指导老师意见进行修改、完善。
进度安排：
2022.11.01~2022.11.30 选题阶段
5. 参考文献
[1]程其襄、张奠宙、魏国强、胡善文、王漱石.实变函数与泛函分析基础[M].北京：高等教育出版社，2010.
[2]周民强.实变函数论[M].北京大学出版社，2008.
[3]夏道行、吴卓人、严绍宗、舒五昌.实变函数论与泛函分析（上册）（第二版修订本）[M].高等教育出版社，2010.
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