1. 研究目的与意义
在微分方程，代数方程，积分方程中解的存在性与唯一性有关的一系列问题，可以叙述为关于相应的度量空间到其本身的某一映射的不动点的存在性与唯一性的问题。在判别这种类型的映射下的不动点的存在性与唯一性的各种准则当中，最简单同时也最重要的就是压缩映射原理。压缩映射原理还可以证明较弱条件下的隐函数存在定理，从而填补了较弱条件下的隐函数存在定理的证明方法。
2. 研究内容和预期目标
研究内容为完备度量空间里的压缩映射，解决的问题为通过压缩映射原理证明积分方程和微分方程的存在性及唯一性，并可以通过逐次逼近法求解方程的近似解。
还可以用于证明数列极限的存在性和隐函数的存在。
3. 国内外研究现状
压缩映射原理是最简单的不动点定理，它不但证明了不动点的存在性与唯一性，同时还提供了求不动点的方法--迭代法；就是说，在完备度量空间中 T是一个压缩映射从任意选取的一个#8220;初始值#8221;x0出发，逐次作点列xn=Tx(n-1)(n=1,2,3...)这个点列必然收敛到方程Tx=x的解，因此这种方法叫做逐次逼近法。
压缩映射原理在线性代数方程组、微分方程、积分方程等方面都有广泛的应用。
在多元微积分中，隐函数存在定理及其证明是十分重要的内容,但隐函数存在定理的证明所需要的条件较强。
4. 计划与进度安排
首先论文介绍了完备度量空间，其次引入了完备度量空间内压缩映射的概念，并证明了压缩映射原理，然后总结其相关定理和推论。
最后介绍压缩映射原理的具体应用，具体为用于证明积分和微分方程解的存在性及唯一性和用于数值计算(迭代法或逐次逼近法)，以及在数列极限中的应用。
5. 参考文献
[1]刘炳初，泛函分析[M]，北京：科学出版社，2007.
[2]卢玉峰，泛函分析[M]，北京：科学出版社，2008.
[3]匡继昌，实分析与泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2002.
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