1. 研究目的与意义
压缩映射原理是泛函分析中一个最常用、最简单的存在性定理。它不仅论证了不动点的存在性和唯一性，同时也给出了求不动点的方法--逐次逼近法。即在完备的度量空间中，通过构造一个映射，利用逐次逼近的方法，使其满足压缩映射原理的条件。用它可以处理数学某些方面应用具体实例，对难以用传统方法解决的问题有重要的理论意义。
这一定理有着及其广泛的应用, 像代数方程、微分方程、积分方程、隐函数理论等中的许多存在性与唯一性问题均可以归结为此定理的推论。压缩映射原理不仅在泛函分析中占有举足轻重的地位，也是数值分析中求解代数方程，常微分方程解的存在唯一性和数学分析中积分方程求解的重要理论依据，是数学和工程计算中最常用的方法之一。利用压缩映射原理来解决其他学科中的一些问题，非常简洁方便。我们在学习中，若能把这些联系点找出来并加以分析、运用，既加深了对知识的理解，贯通了新旧知识的联系，又拓宽了知识的应用范围，无论从深度上还是广度上都是一个飞跃，同时也提高了思维能力。
2. 研究内容和预期目标
自从波兰数学家巴拿赫在1892年提出了有关压缩映像在完备的度量空间必然存在唯一的不动点的一些理论后，许多数学工作者投入了大量的时间来研究，并取得了一些丰硕的成果。今天，不动点和压缩映像原理在我们科学生活中运用十分广泛。不动点原理在数学分析，常微方程，积分方程等很多地方都有它的应用。
写作提纲：
1.压缩映射原理的基本概念
3. 国内外研究现状
不动点理论一个发展方向是只限于欧氏空间多面体上的映射. 1909 年, 荷兰数学家布劳维创立了不动点理论. 在此基础上, 不动点定理有了进一步的发展, 并产生了用迭代法求不动点的迭代思想. 美国数学家莱布尼茨在1923 年发现了更为深刻的不动点理论, 称为莱布尼茨不动点理论. 1927 年, 丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题, 并提出了尼尔森数的概念. 我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形, 并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理. 不动点理论的另一个发展方向是不限于欧氏空间中多面体上的映射, 而考察一般的距离空间或线性拓扑空间上的不动点问题. 最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫.他于1922 年提出的压缩映像原理发展了迭代思想, 并给出了Banach不动点定理.
近年来，不少人研究中学数学中的不动点问题，用通俗易懂的语言和形象生动的例子运用到初等数学中去，扩大中学生的知识领域，加深中学生对数学基础知识的掌握。例如，以#8221;不动点#8221;为载体，将函数、数列、不等式、方程以及解析几何等知识有机地教会在一起，从而体现了用不动点有关知识来求解这些问题有时是简单和巧妙的。
4. 计划与进度安排
压缩映射是一类十分重要的非线性算子，广泛存在于非线性微分方程，非线性积分方程以及泛函微分方程中，通过学习度量空间的基本概念，映射的基本概念，进一步掌握了压缩映射定理的基本概念，它保证了度量空间的一定自映射的不动点的存在性和唯一性，并提供了求出这些不动点的构造性方法-逐次逼近法。压缩映射原理是泛函分析一个最常用、最简单的存在性定理. 用它可以处理数学某些方面的应用具体实例，对难以用传统方法解决的问题有重要的理论意义。我们可以通过压缩映射原理解决这些用传统方法难以解决的问题，找出了学科之间的相互联系，既加深了对知识的理解，贯通了新旧知识的联系，又拓宽了知识的应用范围。
5. 参考文献
【1】李延保，楼宇同. 应用泛函基础[M].南京:东南大学出版社,1990
【2】刘世伟，李逊. 泛函分析概要[M].北京：高等教育出版社，1987
【3】李大华. 应用泛函简明教程[M].武汉：华中理工大学出版社，1999
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