1. 研究目的与意义
拓扑学是近代发展起来的一个数学分支，用来研究各种#8220;空间#8221;在连续性的变化下不变的性质．在20世纪，拓扑学发展成为数学中一个非常重要的领域．拓扑空间中的反例在拓扑学的理论学习和研究中扮演着重要的角色，为一些拓扑理论的存在提供了依据，因此对一些典型反例进行研究显得很有必要．
2. 研究内容和预期目标
1不是每一个拓扑空间都是可度量化空间．
2设X是一个拓扑空间，A#8834;X,x∈X．如果有一个序列{xi}i∈Z 在A-{x}中，并且收敛于x，则x是集合A的一个凝聚点．它的逆命题不成立．
3在一般的拓扑空间中不能像在数学分析中那么通过序列收敛的性质来刻画映射的连续性．
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3. 国内外研究现状
在拓扑学的理论研究和学习过程中，一些拓扑空间作为反例发挥了很重要的作用，因此，对这些反例进行深入的研究显得非常有必要，这会为更多拓扑理论的研究奠定坚实的基础．国内外对基础的拓扑理论的反例研究非常深入．如拓扑空间的 Sober 性质是一种特殊的分离性.借助于有理数空间的通常拓扑构造了一个 T1 Sober 空间而非 T2空间的反例，进一步清晰了 Sober 拓扑与Ti 空间之间的关系..
4. 计划与进度安排
1什么是拓扑空间。
2拓扑空间的经典反例。
3研究意义。
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5. 参考文献
［1］熊金城．点集拓扑讲义［M］． 北京: 高等教育出版社，2012．
［2］朱培勇，雷银彬． 拓扑学导论［M］． 北京: 科学出版社，2009．
［3］汪林，杨富春． 拓扑空间中的反例［M］． 北京: 科学出版社，2000．
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