1. 研究目的与意义
积分理论发展到19世纪，经数学家柯西与黎曼等人进一步完善，所创建的经典积分一黎曼积分理论，已发展成一门系统、严密、完整的学科。用这些积分来计算曲边形面积、物体重心、物理学上的功、能等是很方便的。但古典的数学分析理论基本上是用于处理连续函数的。随着近代物理学的迅連发展以及数学中很多分支的产生，仅仅研究连续函数是不够的，实际应用中需要处理较为复杂的函数。许多收敛的黎曼函数序列.其极限函数却不是黎曼可积的。即使是黎曼可积的，但积分与求极限的过程也不是随便可交换的。这些问題严重地限制了积分概念在自然科学中的应用。
在应用积分处理函数序列的极限问题时，黎曼积分对于收敛性的要求过高，通常要在很强的条件下才能进行。然而在许多情况下，这些条件并不能得到满足。这些问题在勒贝格积分理论中获得了完满的解决。通过勒贝格的三大极限定理，可以在较弱条件下解决积分与极限的换序问题。这在自然科学、工程技术和数学的其他分支中得到广泛的应用，显示了新的积分理论的巨大优越性。
2. 研究内容和预期目标
主要研究黎曼积分和勒贝格积分在积分与极限可换序问题上的条件，并通过比较两者的区别和例题举例，研究两者在积分与极限可换序问题上各自的限制条件，从而判断两个积分在发展上的联系，并拓展到应用层面来分析。
拟解决黎曼积分和勒贝格积分在积分与极限可换序问题上的限制条件，例证其充要性，并探究是否存在其他的充分条件。
写作提纲：
3. 国内外研究现状
主要把积分与极限可换序问题放在黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别中的一部分进行研究，从而比较黎曼积分的局限性和勒贝格积分的优越性。
通过发展，勒贝格积分已成为实变函数的中心研究内容。
4. 计划与进度安排
（1）2022年11月下旬，理解论文题目的内涵，初步拟订查阅文献的计划；
（2）2022年12月中、下旬，查阅文献，写出开题报告；
（3）2022年1月-2月，熟悉论文中涉及到的预备知识，掌握论文的写作方法；
5. 参考文献
[1] 张良勇,董晓芳.浅谈从黎曼积分到勒贝格积分的演变[J]. 高等函授学报(自然科学版). 2006(04)
[2] 武俊德,陈连昌.黎曼积分与极限交换顺序的条件[J]. 工科数学.1993(02)
[3] 裴东林. 关于积分与极限交换顺序的讨论[J]. 甘肃教育学院学报(自然科学版).1993(01)
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