1. 研究目的与意义
自然界中有许多现象，如气温的变化、河水的流动、植物的生长等等，都是连续变化着的。这种变化在函数关系上的反应，就是函数的连续性。例如就气温的变化来看，当时间变动很微小时，气温的变化也很微小，这种特点就是所谓的连续性。连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数，从几何形象上粗略的说，一元连续函数在坐标平面上是一条连绵不断的曲线，当然我们不能满足于这种直观的认识，而应给出函数连续性的精确定义，并由此出发研究连续函数的性质。函数的连续性是分析学的重要基础理论，对连续性的深刻理解和掌握有助于我们开展进一步的数学研究。
2. 研究内容和预期目标
本文将从一元函数的连续性入手，首先介绍连续性的概念，包括函数在一点的连续性（定义、增量、左右连续）、间断点及其分类（第一类间断点-可去间断点及跳跃间断点、第二类间断点）以及区间上的连续函数；其次介绍连续函数的性质，包括连续函数的局部性质（局部有界性、局部保号性、四则运算以及复合函数的连续性）、闭区间上连续函数的基本性质（最大值、最小值定理、介值性定理、根的存在性定理）、反函数的连续性以及重点介绍的一致连续性（定义、一致连续性定理、函数连续与一致连续的关系）；再次简单介绍初等函数的连续性；最后，把一元函数在区间上的连续性与一致连续性等内容推广到二元函数在各种平面区域的连续性与一致连续性上，并给出相关应用。
3. 国内外研究现状
函数连续性是分析学的重要基础知识，对它们的研究和把握有助于进一步开展数学研究，因此，受到国内外学者专家的重视，相关研究相对完善。张歆秋等学者在数学教学与研究 （2013年09期）发表文章《函数一致连续性的判别方法》，在前人已有工作的基础上，分十二个方面，系统归纳、分类总结了连续函数一致连续性的判别方法，分类给出了函数一致连续的充分或充要条件，弥补了相关文献资料关于函数一致连续性问题判别方法的一些不足，大大简化并拓宽了函数一致连续性的可判别范围，使得一致连续性的判别方法更系统、更便于应用。王增贇在数学 （2013年05期）上发表《二元函数一致连续性的探讨》，针对现有数学分析教材对二元函数一致连续性介绍的不足，详细讨论二元函数一致连续性的四则运算和复合函数的一致连续的条件。其次，用实例的形式对二元函数一致连续性和函数有界、偏导数有界、方向导数有界以及可微之间的关系做了详细的注解。最后，给出了二元函数一致连续区域可加性的条件，并用实例的形式对二元函数和一元函数的一致连续性做了比较。
4. 计划与进度安排
通过阅读相关书籍、期刊等资料，按照写作提纲所列内容，对课题进行逐步深入的论述。
时间安排按照学校和学院的统一部署进行。
5. 参考文献
[1] 华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].高等教育出版社.2010.[2] 伍胜健.数学分析[M].北京大学出版社.2009.[3] 张筑生.数学分析新讲[M].北京大学出版社.2006.[4] 同济大学数学系.微积分[M].高等教育出版社.2010.[5] 李忠、方丽萍.数学分析教程[M].高等教育出版社.2008.[6] 杜其奎.数学分析精读讲义[M].科学出版社.2012[7] 刘斌.一元分析学[M].科学出版社.2010.[8] （俄罗斯）菲赫金、哥尔茨著.吴亲仁等译.数学分析原理第九版[M].高等教育出版社.2013
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