1. 研究目的与意义
生物数学中描述多个物种竞争行为的Lotka-volterra型的竞争模型，在参数趋向正无穷的极限中方程组解的相分离现象以及由此产生的自由边界问题，是偏微分方程领域非常活跃的课题，也是前沿问题。
从数学上看，这类问题含有一个奇异扰动的非线性偏微分方程组。
对它的研究涉及泛函分析、偏微分方程等多个分支。
2. 研究内容和预期目标
本文拟考虑一类描述固定区域中种群竞争的Lotka-volterra型反应扩散方程组，我们假定种群的强竞争行为仅发生在某个子区域中，而在其余区域种群处于弱竞争状态。
我们主要研究强竞争作用对种群空间分布的影响。
拟解决的关键问题主要有：1、通过统解的先验估计证明种群的相分离现象；2、导出奇异极限（竞争参数趋于无穷）满足的自由边界问题；论文的主要结构安排如下：第一章：引言第二章：解的渐进性质（相分离现象）第三章：奇异极限问题
3. 国内外研究现状
近年来，生态动力学中竞争种群的空间行为被许多学者广泛关注。
经典的Lotka-volterra竞争模型常被用来描述多个物种在一固定区域中处于竞争状态的行为。
一般情况下，它是由一个反应扩散方程组来描述，这一方程组（包括椭圆和抛物情形)非负解的存在性和稳定性研究由来已久，参见Dancer和杜一宏[1,2]，以及文[1,2]中的参考文献。
4. 计划与进度安排
2022年1月15日（本学期结束）前：完成开题工作2022年4月10日前：完成初稿和中期检查工作2022年5月16日前：完成论文修改、定稿、外文文献翻译工作2022年6月10日前：完成答辩环节工作
5. 参考文献
[1]E.N.Dancer,Y.Du,positive solutions for a three-species competition system with diffusion-Ⅰ.General existence results,Nonlinear Analysis,24(3),(1995)337-357.[2]E.N.Dancer,Y.Du,positive solutions for a three-species competition system with diffusion-Ⅱ.The case of equal birth rates,Nolinear Analysis,24(3),(1995)359-373.[3]L.A.Caffarelli,A.L.Karakhanyan,F.H.Lin,The geometry of solutions to a segregation problem for non-divergence systems,J.Fixed Point Theory Appl.,5(2009)319-351.[4]E.N.Dancer,D.Hilhorst,M.Mimura,L.A.Peletier,Spatial segregation limit of a competition-diffusion system,European J.Appl.Math.,10(1999)75-97.[5]M.conti,S.Terracini,G.Verzini,A variational problem for the spatial segregation of reaction diffusion systems,Indiana Univ.Math.J.,54(3)(2005)779-815.[6]M.conti,S.Terracini,G.Verzini,Asymptotic estimates for the spatial segregation of competitive systems,.Adv.Math.,195(2)(2005)524-560.[7]E.N.Dancer,Kelei Wang,Zhitao Zhang, Uniform Holder estimate for singularly perturbed parabolic systems of Bose-Einstein condensates and competing species,J.Differential Equations251(2011)2737-2769.[8]L.A.Caffarelli,F.Lin,Singularly perturbed elliptic systems and muti-valued harmonic functions with free boundaries,J.Amer.Math.Soc.,21(2008)847-862.[9]E.N.Dancer,Kelei Wang,Zhitao Zhang,The limit equation for the Gross-Pitaevskii equtions and S.Terracinis conjecture .Journal of Functional Analysis 262(2012)1087-1131.[10]Hugo Tavares,Susanna Terracini.Regularity of the nodal set of the segregated critical configuration under a weak reflection law.Cale.Var.Partial Differential Equations,45(2012)273-317.[11]K.Wang,Z Zhang,Some new results in competing systems with many species,Ann.I.H.Poincare,27(2010)739-761.[12]M.Conti,S.Terracini and G.Verzini,Uniqueness and least energy property for strongly competing systems,Interfaces and Free Boundaries8(2006),437-446.[13]E.M.Crooks,E.N.Dancer,Competing system with strong interaction on a subdomain.Topologial Methods in Nonlinear Analysis,27(2011),37-53.
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