1. 研究目的与意义
不动点理论作为非线性泛函分析理论的重要组成部分，在多个领域有着广泛的的应用和发展。微分方程和各类算子方程理论中广泛使用的不动点定理主要是Banach压缩映象原理、Krasnoselkii不动点定理以及Schouder不动点定理。
Banach压缩映象原理不仅可以判定不动点的存在性和唯一性，而且可以从任一初始逼近出发构造一个迭代序列，逼近不动点到任何精确程度。在Banach压缩映象原理基础上提出的一系列压缩影响的概念和新的压缩映象不动点定理的某些结果已经成功应用到非线性volterra积分方程、非线性泛函微分方程解的存在性、唯一性问题、反函数的存在性问题和单调算子理论问题的研究。而Banach压缩映象原理推广得到的非扩张型和扩张型映象的不动点定理，对于研究非线性半群理论、遍历理论、单调算子理论以及局部增生映象的算子方程解的存在性问题起着至关重要的作用。
Krasnoselkii不动点定理在证明扰动算子方程、扰动微分和扰动积分方程解的存在性定理中起到了举足轻重的作用；此外，近年来研究较多的关于多值映象和偏序集中映象的不动点定理的某些结果已经应用于对策理论、传染病传布模型和散逸动态系统理论的研究；随着随机泛函分析理论的发展，随机不动点定理及概率度量空间映象的不动点定理的某些结果已经应用到随机逼近理论和随机积分-微分方程和随机算子方程解的存在性问题的研究。
2. 研究内容和预期目标
本文拟通过查阅参考文献和相应书籍的方式，以前人的研究成果为基础，总结归纳不动点定理的相关定义、定理及其相应的证明，再给不动点定理在数学分析中的应用。
- 给出不动点定理基础的理论内容。（如：不动点相关的定义、Banach压缩映象原理、Krasnoselkii不动点定理以及Schouder不动点定理，并给出相应的证明。）
- 探究不动点定理与数学分析中相关知识的联系及其在数学分析中的应用。
3. 国内外研究现状
不动点理论的发展方向可以分为只限于欧氏空间多面体的映射和不限于欧氏空间中多面体上的映射。
在限于欧氏空间多面体的映射的不动点定理方面，荷兰数学家布劳维创立了不动点理论，美国数学家莱布尼茨在此基础上产生了用迭代法求解不动点的迭代思想，发现了更为深刻的莱布尼茨不动点理论，此后，丹麦数学家尼尔森提出尼尔森数的概念，我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼尔森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理。
在不限于欧氏空间中多面体上的映射，而考察一般距离空间或线性拓扑空间上的不动点问题的研究方面，波兰数学家Banach提出压缩映象原理发展了迭代思想，并给出Banach不动点定理，其在代数方程、微分方程、积分方程、隐函数理论中的存在性和唯一性问题中得到广泛的应用。以Brouwer不动点定理为代表的有限维空间紧凸集上的不动点理论经过后人的发展，到得了包括Schauder不动点定理、Tychonoff不动点定理、Markov-Kakutani不动点定理、Darbo-Sadovskii定理等。
4. 计划与进度安排
第一阶段：2022.12-2022.01
整理复习有关不动点定理的有关知识，并阅读参考的文献及课本。
第二阶段：2022.01-2022.02
5. 参考文献
[1] 张石生,康世焜.不动点理论及其应用[J].成都科技大学学报,1987(04):111-113
[2] 张石生，张宪. Browder不动点定理的推广及应用[J]. 应用数学与力学，1999，20881-888.
[3] 李娟.Banach不动点定理在数学分析中的应用[J].广东石油化工学院学报,2017,27(04):67-69.
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