1. 本选题研究的目的及意义
线性方程组的求解是科学与工程计算中的基础性问题之一，其应用涵盖了数值分析、计算机科学、物理学、工程学等众多领域。
特别是在大规模科学计算和数据分析中，例如天气预报、石油勘探、航空航天设计等，常常需要求解包含数百万甚至数十亿个未知数的线性方程组。
传统的直接求解方法，如高斯消元法和LU分解法，由于计算量大、存储开销高，难以满足大规模问题的求解需求，因此，研究高效、鲁棒的迭代法成为了解决大规模线性方程组的关键。
2. 本选题国内外研究状况综述
大规模线性方程组的有效迭代法是数值计算领域的一个重要研究方向，多年来，国内外学者对此进行了大量的研究，并取得了丰硕的成果。
1. 国内研究现状
国内学者在大规模线性方程组迭代法方面取得了一系列重要进展，特别是在预处理技术、并行算法等方面。
3. 本选题研究的主要内容及写作提纲
本选题将从以下几个方面对大规模线性方程组的有效迭代法进行研究：
1.系统介绍线性方程组的基本概念、向量范数与矩阵范数、迭代法的基本思想等基础知识，为后续内容的学习奠定基础。
2.深入探讨经典迭代法，包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和逐次超松弛迭代法，分析其收敛条件和优缺点，并通过实例演示其应用。
3.重点研究Krylov子空间迭代法，包括共轭梯度法、广义最小残差法、双共轭梯度稳定法等，分析其算法原理、收敛性质以及适用范围，并通过数值实验验证其有效性。
4. 研究的方法与步骤
本研究将采用理论分析、算法设计和数值实验相结合的研究方法。
1.理论分析：-深入研究经典迭代法和Krylov子空间迭代法的收敛性理论，分析不同迭代法的收敛条件和收敛速度，为算法设计提供理论依据。
-探讨预处理技术对迭代法收敛性能的影响，分析不同预处理方法的优缺点和适用场景，为预处理方法的选择提供理论指导。
5. 研究的创新点
本研究力求在以下几个方面有所创新：
1.深入研究不同类型预处理器对Krylov子空间迭代法收敛性能的影响，提出针对特定类型线性方程组的预处理方法选择策略，以提高迭代法的求解效率。
2.探讨将机器学习技术应用于大规模线性方程组迭代法的参数优化，例如，利用机器学习方法预测最优的松弛因子、预处理器参数等，以自适应地提高算法的性能。
3.结合实际应用场景，研究面向特定领域的大规模线性方程组求解方法，例如，针对图像处理中的稀疏线性方程组，设计高效的迭代算法和预处理技术。
6. 计划与进度安排
第一阶段 （2024.12~2024.1）确认选题，了解毕业论文的相关步骤。
第二阶段（2024.1~2024.2）查询阅读相关文献，列出提纲
第三阶段（2024.2~2024.3）查询资料，学习相关论文
7. 参考文献（20个中文5个英文）
[1] 刘超,袁亚湘. 非线性共轭梯度法的进展[J]. 科学通报,2018,63(33):3448-3462.
[2] 孙玉莹,徐玲,周伟灿. 一种求解大型线性方程组的改进型Gauss-Seidel迭代法[J]. 计算数学,2017,39(4):373-382.
[3] 张雷,黄聪. 求解大型稀疏线性方程组的预处理广义极小残量算法[J]. 计算机工程与应用,2020,56(11):43-48.
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