1. 研究目的与意义
不动点理论是泛函分析中最重要的研究课题之一，而不动点存在性定理在数学及许多其他领域中有着广泛的应用，如在微分方程、积分方程、经济均衡问题、金融学、最优控制理论等等中都有重要的应用。泛函分析具有高度的抽象性，使经典分析中的概念和方法进一步提升，由此产生了函数空间、Banach空间、Hilbert空间的理论，所以泛函分析在现代数学领域中占有非常重要地位。另外，不动点理论还是目前正在迅速发展的非线性泛函分析学科的重要组成部分，它与近代数学的许多分支有着紧密的联系。因此研究不动点定理及其应用在理论和实际应用中都是有着重要的意义。
2. 研究内容和预期目标
首先，论文介绍泛函分析中的一些基本概念和理论、简要的发展过程等；其次，研究常用的几个不动点定理，如：Banach压缩映射原理，Schauder不动点定理等等，并且简要地给出证明的思想；最后，通过一些例子来说明这些不动点定理在代数方程、隐函数存在性定理、微分方程、积分方程、经济均衡问题等等实际问题中的应用，以及利用不动点定理研究其他相关方程类问题解的存在性、唯一性以及多解性等等。
3. 国内外研究现状
泛函分析的主要研究对象有两大类，即：空间上的泛函和算子，而泛函和算子又分为线性与非线性两类。泛函分析的研究课题及其应用遍及大分析学的方方面面，并且随着线性算子的谱理论与量子力学中的谱分析惊人的一致而确定了它的地位，泛函分析已逐渐成为独立的数学分支。目前非线性算子的不动点理论还不成熟，有许多重要问题需要研究。国内外许多学者都在研究各类非线性算子的不动点的存在性问题，以及所得的不动点定理的重要应用。
4. 计划与进度安排
从不动点定理的基本原理出发，辅之实例，进而介绍几类非线性算子的不动点定理及其应用。
2022年12月底完成开题报告；
2022年4月中旬 交中期检查表，准备英文翻译等资料；
5. 参考文献
[1] 程其襄，张奠宙等. 实变函数与泛函分析基础:第二版[M]. 北京：高等教育出版社, 2008.
[2] 林源渠. 泛函分析学习指导[M]. 北京：北京大学出版社, 2009.
[3] 王高雄，周之铭等. 常微分方程:第二版[M]. 北京:高等教育出版社, 1983.
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