1. 本选题研究的目的及意义
近年来，微分方程定性理论与分支理论作为应用数学的重要分支，在物理学、力学、化学、生物学、工程技术以及经济管理等众多领域展现出广阔的应用前景，并逐渐成为解释和预测复杂系统动态行为不可或缺的工具。
四次多项式系统作为一类高阶非线性系统，能够刻画更加丰富的动力学现象，因此其定性分析与分支研究具有重要的理论意义和实际价值。
本选题的研究对象是一类具有不变直线的四次多项式系统。
2. 本选题国内外研究状况综述
微分方程分支理论作为研究非线性系统动力学行为的重要工具，一直受到国内外学者的广泛关注。
近年来，随着计算机技术的快速发展和符号计算软件的普及，该领域的研究取得了丰硕成果。
1. 国内研究现状
3. 本选题研究的主要内容及写作提纲
1. 主要内容
本论文将围绕一类具有不变直线的四次多项式系统的扰动分支问题展开研究，主要内容包括：
1.研究该类四次多项式系统存在不变直线的参数条件，并利用首次积分理论降低系统维数。
2.分析扰动参数对系统平衡点的影响，包括平衡点的个数、类型、稳定性以及分支类型等。
4. 研究的方法与步骤
本研究将采用理论分析与数值模拟相结合的研究方法，逐步深入地展开。
首先，我们将利用微分方程定性理论，研究具有不变直线的四次多项式系统的参数条件。
具体地，我们将利用微分方程组的对称性、首次积分等方法，确定系统存在不变直线的参数范围。
5. 研究的创新点
本研究的创新点在于将扰动分支理论应用于一类具有不变直线的四次多项式系统，并结合理论分析与数值模拟方法，深入研究系统的动力学行为。
具体体现在以下几个方面：
1.研究对象的新颖性：针对一类具有特殊结构的四次多项式系统进行研究，拓展了扰动分支理论的应用范围。
2.研究方法的综合性：结合微分方程定性理论、分支理论以及数值模拟等多种数学工具，为解决复杂非线性系统问题提供有效途径。
6. 计划与进度安排
第一阶段 （2024.12~2024.1）确认选题，了解毕业论文的相关步骤。
第二阶段（2024.1~2024.2）查询阅读相关文献，列出提纲
第三阶段（2024.2~2024.3）查询资料，学习相关论文
7. 参考文献（20个中文5个英文）
[1] 周佳佳, 孙广旭. 一类具有三次齐次非线性项的捕食系统的Hopf分支[J]. 应用数学进展, 2023, 12(1): 144-151.
[2] 杨婷, 刘长虹. 一类具有不变直线的平面三次系统的极限环分支[J]. 应用数学进展, 2022, 11(3): 1584-1590.
[3] 张文明. 一类具有两个不变代数曲线的平面多项式系统的中心问题[J]. 数学杂志, 2021, 41(4): 723-730.
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