1. 研究目的与意义
与前几个世纪相比，二十世纪是科学技术突飞猛进的世纪，不断出现震撼世界的重大创造和发明，影响整个人类社会，其中最突出的有：原子能的利用，电子计算机的发明等八大新兴领域，一场技术革命已经来临。数学的发展，从来都是和生产实践、科学技术的发展密切相关并互相推动的。
首先。生产实践向和学技术向数学提出问题，刺激数学发展，其次数学工具的进步又为科学发展提供了台阶。因此，发展数学，是大势所趋，是分析问题规避风险的重要保证，而函数作为数学的基础内容，对其性质的研究的紧迫性、重要性进一步凸显。
早在17世纪，著名物理学家、天文学家、数学家伽利略就在《两门新科学》一书中提出函数这一概念，随后经历数百年的演变，函数的定义随着数学家的眼界的拓宽而不断推陈出新。其发展可以归纳为四个阶段-- （1）几何意义下的函数：依托实际曲线，提出函数是数与数的对应关系。
2. 研究内容和预期目标
研究内容：
本文研究是不同空间下的函数性质，并运用实例分析实数空间、拓扑空间、集值映射下函数的不同点与相似点。
需要解决的关键问题：
3. 国内外研究现状
二十一世纪的数学，从文献的增长速度也能看出他的巨大发展，据统计，二十一世纪初期，每年发表的数学论文不过千篇，然而，到1960年，美国《数学评论》发表的论文摘要7824篇，到1973年为20410篇，1979年已经达到52812篇，文献呈指数增长之势。
得益于此，现代数学体系百年时间内逐步完善。随着抽象代数学的兴起，1925年左右A.E.诺特提议把组合拓扑学建立在群论的基础上，在她的影响下H.霍普夫1928年定义了同调群。从此组合拓扑学逐步演变成利用抽象代数的方法研究拓扑问题的代数拓扑学。1950年J.P.塞尔利用J.勒雷为研究纤维丛的同调论而发展起来的谱序列这个代数工具，最简单的例子是欧氏空间。在同伦群的计算上取得突破，为其后拓扑学的突飞猛进开辟了道路。 1953年R.托姆的协边理论(见微分拓扑学)开创了微分拓扑学与代数拓扑学并肩跃进的局面，许多困难的微分拓扑问题被化成代数拓扑问题而得到解决，同时也刺激了代数拓扑学的进一步发展。
从50年代末在代数几何学和微分拓扑学的影响下产生了k 理论，解决了关于流形的一系列拓扑问题开始，出现了好几种广义同调论。由此可见，数学发展的整体化日趋加强，纯粹数学不断向纵深发展。
4. 计划与进度安排
1、2022年11月27日（本学期第十三周）：完成选题工作
2、2022年1月15日（本学期结束）前：阅读资料，选择文献待用，完成开题工作
3、2022年4月10日前：完成初稿和中期检查工作
5. 参考文献
[1]郭幼虹. 若干拓扑空间相关性质的探讨[D].福建师范大学,2014.
[2]吴从炘,任雪昆,吴冲. 模糊分析中的泛函空间[J]. 中国科学:数学,2015,09:1473-1486.
[3]赵正波. 度量空间连续映射的等价条件[J]. 渭南师范学院学报,2013,02:14-16.
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