1. 研究目的与意义
在描述多个物种竞争的Lotka-Volterra型反应扩散方程组中，解的空间结构意义共存或消亡，一直都是微分方程界研究的热点问题。
这类方程组的解虽然是定义在整个固定区域上，但在竞争参数趋于无穷的奇异极限中，解的支集相互分离，从而产生一个自由边界的问题。
许多数学工作者，例如Wolf奖获得者美国德克萨斯大学的L.A.Caffarelli，Courrant数学所的林芳华教授，澳大利亚悉尼大学的E.N.Dancer院士，意大利米兰可比卡大学的S.Terracini等多人对这类问题进行了大量的研究[1-16]。
2. 研究内容和预期目标
本文拟研究非均质(heterogeneity)环境中，描述种群竞争的反应-扩散-对流方程组解的空间结构，拟解决的关键问题主要有：1.建立系统解关于竞争参数的一致Lipschitz界估计；2.刻画奇异极限问题中自由边界的几何性质。
论文的主要结构安排如下：第一章. 引言 （介绍相关背景，研究进度等）第二章. 一致Lipschitz界估计第三章. 自由边界性质
3. 国内外研究现状
1994年，悉尼大学的E.N.Dancer和杜一宏教授[10]首次研究了一类具强竞争作用的Lotka-Volterra型椭圆系统，他们证明了当种群间的竞争率趋于无穷时，系统解在弱意义下收敛到一个自由边界问题解的正部和负部。
此后，Dancer,Crooks,Hilhorst,Milmura,Peleti er等学者在文[8,9]中讨论了相应抛物方程的相分离现象，并得到类似结果。
随后，意大利数学家Terracini教授与其合作者[5,6]，德克萨斯大学的Cafferelli和Courrant数学所的林芳华教授，以及中科院的张志清研究员和他的学生王克磊[11,12]，将上述结论进行了改进，给出了系统解关于竞争参数的一致HOuml;lder界估计，并证明了奇异极限是Lipschitz连续的。
4. 计划与进度安排
2022年11月10日至2022年11月25日：学习规范化要求，搜集和查阅资料。
2022年11月26日至2022年12月12日：初拟开题报告及提纲并上交。
2022年12月13日至2022年1月15日：完善开题报告及提纲，翻译出相关材料。
5. 参考文献
[1] L. A. Caffarelli, A. L. Karahanyan, F. Lin, The geometry of solutions to a segregation problem for non-divergence systems, J. Fixed Point Theory Appl., 5(2) (2009)319-351.[2] L. A. Caffarelli, F. Lin, Singularly perturbed elliptic systems and muti-valued harmonic functions with free boundaries, J. Amer. Math. Soc., 21(2008)847-862.[3] L. A. Caffarelli, F. H. Lin, An optimal partition problem for eigenvalues, J. Sci. Comput., 31(2007)5-18.[4] L. A. Caffarelli, F. Lin, Analysis on the junctions of domain walls, Discrete contin. Dyn. Syst., 28(3)(2010)915-929.[5] M. conti, S. Terracini, G. Verzini, A variational problem for the spatial segregation of reaction diffusion systems, Indiana Univ. Math. J., 54(3)(2005)779-815.[6] M. conti, S. Terracini, G. Verzini, Asymptotic estimates for the spatial segregation of competitive systems,Adv. Math., 195(2)(2005)524-560.[7] M. conti, S. Terracini, G. Verzini, Uniqueness and least energy property for strongly competing systems,Interfaces Free Bound., 8(2006)437-446.[8] E. C. M. Crooks, E. N. Dancer and D. Hilhorst, On long-time dynamics for competition-diffusion systems with inhomogeneous Dirichlet boundary conditions, Topol. Meth. Nonlinear Anal., 30(2007)1-36.[9] E. C. M. Crooks, E. N. Dancer, D. Hilhorst, M.Mimura and H. Ninomiya, Spatial segregaton limit of a competition diffusion system with Dirichlet boundary conditions, Nonlinear Anal. Real world Appl., 5(2004)645-665.[10] E. N. Dancer, Y. H. Du, Competing species equations with diffusion, large interactions, and jumping nonlinearities, J. Differential Equations,114(1994)434-475.[11] E. N. Dancer, Kelei Wang, Zhitao Zhang, Dynamics of strongly competing systems with many species, Trans. Amer. Math. Soc., 364(2)(2012)961-1005.[12] E. N. Dancer, K. Wang, Z. Zhang, Uniform Holder estimate for singulary perturbed parabolic systems of Bose-Einstein condensates and competing species, J. Differential Equations, 251(2011)2737-2769.[13] E. N. Dancer, Kelei wang, Zhitao Zhang, The limit equation for the Gross-Pitaevskii equtions and S. Terracini#8217;s conjecture. Journal of Functional Analysis 262(2012), 1087-1131.[14] K. Wang, Z. Zhang, Some new results in competing systems with many species, Ann. I. H. Poincare, 27(2010)739-761.[15] B. Noris, H. Tavares, S. Terracini, G. Verzini, Uniform Holder bounds for nonlinear Schrodinger systems with strong competition, Comm. Pure Appl. Math., 63(3)(2010)267-302.[16] Hugo Tavares, Susanna Terracini. Regularity of the nodal set of the segregated critical configuration under a weak reflection law, Cale. Var.Partial Differential Equations, 45(2012)273-317.[17] F. Belgacem, C. Cosner, The effects of dispersal along environmental gradients on the dynamics of populations in heterogeneous environment, Canad. Appl.Math.Quart., 3(1995)379-397.[18] Shan Zhang, Ling Zhou, Zuhan Liu, The spatial behavior of a competition diffusion advection system with strong competition, Nonlinear Anal. RWA., 14976-989,2013.
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