1. 研究目的与意义
我们知道现代社会的发展离不开数学领域的研究与发展，而函数的连续性在分析数学中有着广泛的应用，对促进现代数学的发展起到了非常重要的作用.
当然与之相关的函数的绝对连续性与Lebesgue积分的关系，以及与Lebesgue积分的分部积分以及变换替量也是现代分析数学中应用非常广泛，具有深刻的研究意义.
在数学分析，泛函分析中，函数的连续性的研究都是我们学习的重点和难点，是使用最为广泛和频繁的知识工具.此次课题主要研究几种函数的连续性.
2. 研究内容和预期目标
先研究函数的连续性和一直连续性的性质和应用.包括介绍函数的连续性的概念，一直连续的概念，并举例帮助理解这些概念，以此来总结函数的连续性在数学中的应用;
其次研究函数的绝对连续性的概念、性质以及Lebesgue积分的关系.包括先介绍一直连续的相关定义，并举例来说明绝对连续在数学中的应用，再着重介绍Lebesgue积分的概念，性质以及相关定义，最后再总结出两者之间存在的关系;
最后研究绝对连续函数与Lebesgue积分的分部积分以及变换替量,主要是通过例题来研究绝对连续函数与Lebesgue积分的分部积分以及变换替量.
3. 国内外研究现状
函数的连续性概念是数学中的重要概念之一.历史上相当长一段时间内,人们对连续函数是从几何直观上理解的,即连续函数的图像是一条连绵不断的曲线.捷克数学家波尔察诺第一次明确地指出连续观念的基础存在于极限概念之中.函数如果对于一个区间内的任一x值,和无论是正的或负的充分小的⊿x,差f(x ⊿x)-f(x)的绝对值始终小于任一给定的量时,他定义这个函数在这个区间内为连续.
魏尔斯特拉斯对f(x)在x为连续的定义:若对一个任意正数e,可以求出包含x0的一个区间,使得对这个区间中所有值,f(x)-f(x0)的绝对值小于e.海涅听了魏尔斯特拉斯的课后,提出可以把定义修改为:若对已给的任一e,可以求到一个#331;0,使得对#331;lt;#331;0,差f(x#177;#331;)-f(x)的绝对值小于e.这与现在分析教程中关于连续性的e-#442;定义已经很接近.
函数的连续性有许多#8220;类型#8221;.从函数的局部性质来看,有:在点x0处左、右连续,在点x0处上、下半连续；从函数的整体性质来看,又有:连续函数、一致连续函数、绝对连续函数、几乎处处连续函数、基本上连续函数.理清这些概念之间的关系往往是教学学习中的难点.
4. 计划与进度安排
1、查找文献，通过在图书馆和网络上查找与之相关的文献，经过阅读、摘录、编辑等工作，进而全面的了解函数的连续性研究的背景资料。
2、求教导师，通过与导师的交流，询问相关的问题，充实自己的材料
3、理论逻辑分析，结合以上的基本工作，通过自己的理论分析能力给出完整的论文.
5. 参考文献
[1] 程其襄，张奠宙.实变函数与应用泛函分析基础3版[M].北京:高等教育出版社,2010
[2] 江泽坚等.实变函数论.2版[M].北京:高等教育出版社,1994.
[3] 夏道行等.实变函数论与泛函分析.2版[M].北京:高等教育出版社,1985.
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