1. 研究目的与意义
| 在无穷维的Banach空间中有着一类特殊的线性算子，它的性质与有限维空间中的矩阵类似，这就是紧算子，紧算子理论是算子理论和泛函分析中的重要内容，它产生于各种积分方程和微分方程研究的需要，并在各种数学物理问题上起着核心作用。紧算子是一类特殊的有界线性算子，是最接近有限维空间上的线性算子，其谱理论也是近代数学中的基本理论，是工程科学等方面不可或缺的工具，在偏微分方程、遍历理论、量子力学上有着广泛应用。算子的谱的概念是有限维矩阵的特征值概念的推广。因此，本文对紧算子谱理论的基本概念、性质、再到紧算子的构建的深入研究，不仅能更理解谱理论知识，还能帮助建立起直观的谱理论映像。最后在应用方面，利用紧算子谱理论对椭圆形方程方程Dirichiet问题上开辟了新的途径。其次，在广义量子门的谱刻画及逻辑序下两个自伴算子的下确界的谱表示也可以用谱理论进行刻画。 |
2. 研究内容和预期目标
本文以已有的研究为基础，总结归纳基础的理论部分并针对一些应用做单独研究。-
首先给出基础的理论内容，如：紧算子以及紧算子谱理论的的基本概念和性质，这些内容会在后续的研究中有所涉及；
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然后研究紧算子谱理论的三个基本问题：（1）紧算子的谱的分布； （2）不变子空间； （3）紧算子的构造；
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最后在上述紧算子的谱理论支撑下，给出其在椭圆型方程中的应用。
3. 国内外研究现状
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1900-1903年，Fredholm研究了具有连续核的积分方程；之后 F.Riesz和 Schauder建立了Banach 空间上紧算子的 Fredholm理论。
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1904-1906年，Hilbert 研究了具有对称核的积分方程，并得到有界自共轭算子的 Fredholm理论。
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里斯在1918年为进一步发展算子理论而建立了他的紧算子理论，在这期间，定义了函数空间，又定义了连续空间上的有界线性算子。接着表述了希尔伯特的全连续概念，称该算子为为全连续算子，即紧算子。
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第一阶段：2022.12-2022.01
整理复习有关紧算子以及紧算子谱理论及其应用有关知识，并阅读参考的文献及课本。
第二阶段：2022.01-2022.02
收集有关紧算子谱理论应用实例，进行深入学习与整理，并构建好论文框架，完成整篇论文的初步模型。
第三阶段：2022.02-2022.04
整理结论，撰写论文。
5. 参考文献
[1] 张恭庆.泛函分析讲义（上册）[M]. 北京：北京大学出版社, 1998.206-251.
[2] 迪斯米埃.谱理论讲义（第二版）姚一隽(译) [M]. 北京：高等教育出版社，2008.80-111.
[3] 刘官厅,杨丽英.紧算的Riesz-Schauder理论及应用[J].哲里木畜牧学院学报,2000(02):57,60-64.
[4] 赵倩倩.线性算子的谱理论及其应用 [D].郑州大学，2007.
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