1. 研究目的与意义
在泛函分析中，Hahn-Banach 定理是一个极为重要的工具，它允许了定义在某个向量空间上的有界线性算子扩张到整个空间，并说明了存在'足够”的连续线性泛函，定义在每一个赋范线性空间，使对偶空间的研究变得有趣味。
而且，它的重要性不仅体现在其对建立 Banach 空间理论体系所引起的作用上，还体现在解决许多具体的分析问题中，应用十分广泛，也越来越深入地渗透于现代数学的各个领域乃至物理等其它学科中，是泛函分析中的一块基石。
2. 研究内容和预期目标
本文将已有的研究为基础，总结归纳 Hahn-Banach 定理的理论知识部分并针对一些应用做单独研究。
首先给出基础的理论内容，如 Hahn-Banach 定理的一般形式，这些内容会在后续的研究中有所涉及；
然后以推论的形式给出本定理的若干特殊形式及其推广；
3. 国内外研究现状
里斯为了研究无限维方程组，首先把赫尔德不等式和闵可夫斯基不等式推广到可测函数集，后为了适应施瓦兹的方法，又推广了希尔伯特空间中的一些定义和结果，并第一次证明了希尔伯特选择准则的一般性。之后，他从有限维系统开始研究，发现线性形式可以延拓到整个空间，这里里斯便发现了延拓思想。
黑利为了证明里斯的结果，首先提出了黑利引理，其形式就是 Hahn-Banach 定理在空间 C[a,b] 上的形式，然后利用了一个关键不等式证明了里斯的结论，即证明了 Hahn-Banach 定理的存在性。
4. 计划与进度安排
第一阶段：2022.12-2022.01 整理学习有关 Hahn-Banach 定理的相关知识，并阅读课本及参考文献；
第二阶段：2022.02-2022.03 收集有关 Hahn-Banach 定理的应用实例，深入学习与整理，并构建论文框架，完成整篇论文的初步模型；
第三阶段：2022.03-2022.04 整理结论，撰写论文。
5. 参考文献
[1]胡作玄. 近代数学史[M]. 济南: 山东教育出版社,2006.
[2]刘世伟, 李逊. 泛函分析概要[M]. 河北: 高等教育出版社, 1998.
[3]张恭庆, 林源渠. 泛函分析讲义[M]. 北京: 北京大学出版社, 2011.
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