1. 研究目的与意义
算子理论是泛函分析中讨论的一个极为重要的研究领域，是深刻反映众多数学问题本质的一个数学分支，具有十分重要的应用价值和深刻的研究意义。
线性算子的谱及其相关问题是算子理论中一个重要的组成部分，在数学和物理学的许多分支有着广泛应用，如矩阵论、微分方程、积分方程、控制论和量子力学等。
线性算子的谱理论发展至今已经取得了巨大的成就，我们要在充分认识和理解前人成果的基础上继续发展研究。
2. 研究内容和预期目标
本文以已有的研究为基础，总结归纳基础的理论部分并针对一些应用做单独研究。
首先给出基础的理论内容，如：有界线性算子的谱、紧线性算子的谱、正常算子的谱等，这些内容会在后续的研究中有所涉及；
然后研究这些算子谱集的分类、谱集的性质以及谱的分解定理；
3. 国内外研究现状
1904-1906年，Hilbert 研究了具有对称核的积分方程，并得到有界自共轭算子的 Fredholm 理论。
1918年，Riesz 为进一步发展算子理论而建立了他的紧算子理论。在这期间，他定义了函数空间，又定义了连续空间上的有界线性算子，接着表述了 Hilbert 的全连续概念，称该算子为为全连续算子，即紧算子。
Riesz 从量子理论角度建立了与20世纪初对第二型 Fredholm 积分方程所建立的Fredholm 理论相对应的理论，被称为 Riesz-Fredholm 理论。该理论表明了线性代数方程的可解性结果可以推广到含紧算子的算子方程中去。
4. 计划与进度安排
第一阶段：2022.12-2022.01
整理复习有关线性算子以及线性算子谱理论及其应用有关知识，并阅读参考的文献及课本；
第二阶段：2022.01-2022.02
5. 参考文献
[1]张恭庆. 泛函分析讲义(上册)[M].北京: 北京大学出版社, 1998.
[2]程其襄. 实变函数与泛函分析基础[M]. 北京: 高等教育出版社, 1983.
[3]孙炯,王忠.线性算子的谱分析[M]. 北京: 科学出版社, 2005.
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