1. 研究目的与意义
拉普拉斯变换在现代社会的各个领域得到了广泛应用. 在有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果.
在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的.引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性. 这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，提供了可能性. 应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决.在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示.在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用.
因此，本文对拉普拉斯变换的基本概念与性质进行深入研究，以便更好地理解和掌握拉普拉斯变换的本质及作用，将其应用于科学研究和实现生活中.
2. 研究内容和预期目标
本文将以已有的研究为基础，介绍拉普拉斯变换的理论知识，并且针对拉普拉斯变换在微分方程中的应用做单独研究.
首先，给出基础理论内容，如：拉普拉斯变换的基本概念，拉普拉斯变换的性质，拉普拉斯变换的存在定理；
其次，介绍拉普拉斯的逆变换，给出常系数线性微分方程的解法；
3. 国内外研究现状
1812年，拉普拉斯在《概率的分析理论》中总结了当时整个概率论的研究，论述了概率在选举、审判调查、气象等方面的应用，并导入“拉普拉斯变换”.
1985 年，刘振修用待定初值法求解微分方程，认为'在原方程的n个线性无关解中至少有n-m个解，其n阶导数不能具有拉氏变换象函数.”这一论断并不成立.
2017年，王学彬给出了两种常见分数阶导数即Riemann-Liouville分数阶导数和Caputo分数阶导数的拉普拉斯变换公式，并给出具体实例说明如何利用拉普拉斯变换求解分数阶微分方程和分布阶微分方程.2017年，田垒利用Gronwall积分不等式获得了拉普拉斯变换法求解常系数分数阶时滯微分方程合理性的条件.
4. 计划与进度安排
第一阶段：2022.12-2022.01 整理学习有关拉普拉斯变换的相关知识，并阅读参考文献及课本；
第二阶段：2022.02-2022.03 整理拉普拉斯变换的应用部分，深入学习与整理，并构建论文框架，完成整篇论文的初步模型；
第三阶段：2022.03-2022.04 整理结论，撰写论文.
5. 参考文献
[1]王学彬. 拉普拉斯变换方法解分数阶微分方程[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2016, 41(07): 7-12.
[2]田垒. 拉普拉斯变换在微分方程中的应用[D]. 安庆师范大学, 2016.
[3]田慧竹,宋从芝. 利用拉普拉斯变换求解微分方程[J]. 高等数学研究, 2012, 15(01): 67-69.
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