1. 研究目的与意义
傅里叶变换是一种特殊的积分变换，它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦函数的线性组合或者积分，具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅里叶变换是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。傅里叶变换具有众多良好的性质，在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，因此研究傅里叶变换及其性质是非常有必要的。本文对傅里叶变换及其逆变换的定义、傅里叶变换性质的理论探讨，能帮助全面深入地了解傅里叶变换，构建起傅里叶变换的具体直观。最后在应用方面，本文对傅里叶变换在指纹图像分割与增强方面开辟了新途径。
2. 研究内容和预期目标
本文以已有的研究为基础，总结归纳基础的理论部分并针对一些应用做单独研究。
首先给出基础的理论内容，如：傅里叶变换及其逆变换的定义，这些内容会在后续的研究中有所涉及；
然后根据前面的基础理论内容，探讨傅里叶变换的性质；
3. 国内外研究现状
1753年，伯努利提出了采用三角级数解弦振动方程的方法；
1759年，拉格朗日在给达朗贝尔的信中称x^(2/3)可表示为三角级数；
1777年，欧拉在研究天文问题时得到了除了因缺少正弦项而只能表示周期为l的偶函数的三角级数，得到了类似傅里叶级数的表达式，但他与拉格朗日及达朗贝尔却始终坚持认为并非是任意的周期函数都可以表示为三角级数；
4. 计划与进度安排
第一阶段：2022.12-2022.01 整理学习有关傅里叶变换的相关知识，并阅读参考文献及课本；
第二阶段：2022.02-2022.03 整理有关傅里叶变换的应用部分，深入学习与整理，并构建论文框架，完成整篇论文的初步模型；
第三阶段：2022.03-2022.04 整理结论，撰写论文。
5. 参考文献
[1] 顾樵. 数学物理方法 [M]. 北京：科学出版社，2012.
[2] 潘文杰. 傅里叶分析及其应用 [M]. 北京：北京大学出版社，2000.
[3] 熊元新，陈允平. 离散傅里叶变换的定义研究 [J]. 武汉大学学报(工学版), 2016, 39(1): 89-91.
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