1. 研究目的与意义
期权是风险管理的核心工具。对期权定价问题的研究,近年来已有了较为成熟的理论成果,特别是在Black-Scholes公式的基础上,对各种期权定价的研究发展迅速。Black-Scholes 模型给出了所有可以用变量定义的不同衍生证券的价格所满足的偏微分方程，不同的衍生证券有着不同的约束条件。欧式期权的定价虽有显式表达式，但解析解的形式较特殊和复杂，且不能进行快速的求解；特别是当所研究的衍生证券没有精确解析公式时，研究其数值解有重要意义，期权定价问题数值计算方面的研究，近年来也有较大的发展。现在市场上存在的大量复杂衍生证券，就常常找不到相应可行的解析公式来求解其价格，在随着计算机技术的飞速发展，数值方法表现出了许多优越性，所以数值方法就成为了一种相当重要的衍生证券定价方法，因此，期权定价问题的数值计算方法的研究已引起了越来越多地人们的关注。现有的数值解法大部分是以偏微分方程的差分法和有限元法、鞅方法或二叉树方法进行逼近，本文进一步以偏微分方程的求解角度对欧式期权的定价进行研究。
2. 研究内容和预期目标
在大多数情况下，求得偏微分方程的解析解是非常困难的，即使求得的解析解是非常复杂的形式。因此需要用数值方法求解偏微分方程。解析法，多项式毕逼近法，相似变换法，微分求积法、有限差分法（Finite Difference method）、二叉树方法（Binomial method）以及蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）等是求解偏微分方程的常用方法。
Karatzas, I.amp; Shreve, S.讨论了许多期权定价的数值计算问题，并分析了现有数值方法的缺陷和不足；K.Burrage, P.M.Burrage and T.Tian, Musiela, M.和Rutkowski, M.讨论了期权定价的鞅方法，虽然鞅方法也是研究期权定价的重要方法，但却未建立起完善的理论依据；Ulrich Anders,Olaf Korn and Christian Schmit则提出了在其他领域中广泛采用的神经网络方法（ANN method）。Jiang amp; Dai在他们的论文中有研究了二叉树方法的收敛性等问题，并说明了在某些情形下二叉树方法可能会出现不收敛的情况；张铁给出了美式期权定价的有限元方法，在误差分析方面，黄建国，汪洋，叶中行给出了求解Black-Scholes方程时截断误差的分析，讨论了几种特殊情形的截断误差。
3. 国内外研究现状
著名的经济学家 R. Merton 对 Black-Scholes期权定价模型作了必要的准备工作，提出了重要的理论成果《期权定价的数学模型和方法》。继 Black-Scholes期权定价模型提出之后，其他各种期权定价模型也被纷纷提出，其中最为著名的是J.Cox, S.Ross 和 M.Rubinstein在1979年提出的二项式模型，该模型是对Black-Scholes期权定价模型的进一步简化，这种简化了的模型更便于实际操作。基于 Black-Scholes 期权定价模型，Merton(1990), Robinstein(1991), P. Wilmott (1993, 1998), Charles J. Corrado , Sergei Fedotov, Hosam Ki, Byungwook Choi, Kook-Hyun Chang等在不同的市场条件假设下，提出了修正的模型使之更加实用，Rogers, L. C. G., Z. Shi在 1995 年对亚式期权定价的估值进行了研究；在国内，Jiang 和Dai 在On path-dependent options文章中，Zhang 在A theory study of path-dependent options with general payoff文章中讨论了路径有关期权问题等，王峰，徐小平等的布朗运动和泊松过程共同驱动下的欧式期权定价文章，陈万义的非风险中性定价意义下的欧式期权定价公式文章等分别对Black-Scholes期权定价模型进行了推广，使得更符合实际市场规律。
4. 计划与进度安排
本文的主要目的是研究欧式看涨期权的布莱克-斯科尔斯偏微分方程，并求其数值解，对比几种不同的数值方法，分析它们收敛的速度，当存在解析解时，对比数值方法与精确模型解的误差，通过B-S模型的求解方法熟练掌握几种常见的偏微分方程的数值解法。
项目拟通过数学建模、数值计算、稳定性、收敛性及误差估计分析相结合，研究Black-Scholes偏微分方程模型的数值解法。比对不同数值解法在给定参数条件下的效果，相同条件下的相对误差分析以及与实际价格情况的比较。比较与实验数据或者部分模型的解析解是否一致吻合。
5. 参考文献
[1] R. Bellman, B. G. Kashef, and J. Casti, 'Differential quadrature: A technique for the rapid solution of nonlinear partial differential equations,' J. Comput. Phys., vol. 10, no. 1, pp. 40–52, Aug. 1972, doi: 10.1016/0021-9991(72)90089-7.
[2] 李荣华. 偏微分方程数值解法[M]. 高等教育出版社, 2005.
[3] Ali Hirsa, Salih N. Neftci, An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives (Third Edition), Academic Press, 2014, Pages 197-214, ISBN 9780123846822, https://doi.org/10.1016/B978-0-12-384682-2.00012-8.
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