1. 研究目的与意义
我们把欧式空间中的连续函数的定义域、值域进行抽象，得到度量空间及其之间的连续映射，再把度量空间进一步抽象为拓扑空间及拓扑空间中的连续映射。在此基础上，我们通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间。由此可见，拓扑空间并非都是由度量空间诱导出的。拓扑空间的定义要比度量空间更普遍。
对于定义普遍的拓扑空间，我们通过探索一系列的分离定理来逐渐限制拓扑空间的范围。从空间到空间，对分离性的限制越来越强，每一类拓扑空间满足的公理就越来越多，拓扑空间的特殊性也越来越强。与此同时，我们通过拓扑的同胚关系来研究被区分成不同种类的拓扑空间上的拓扑不变性。通过研究分离公理及其在基数不变量和其他方面的应用，可以更深入的探究拓扑不变性。对拓扑不变性的研究也是拓扑学的中心任务。
2. 研究内容和预期目标
研究内容：
研究的内容包括拓扑分离性公理的历史，各条分离公理的定义、等价条件，满足不同分离性的具体拓扑空间的例子，分离性定理在基数不变量或其他方面的应用。
3. 国内外研究现状
国外研究现状：
空间中点的分离性主要由Riesz和Hausdorff在20世纪初提出，后由Alexandroff以及Urysohn等人发展了闭集的分离性。分离性是不仅拓扑空间中较为基础的性质之一，也是拓扑代数的重要性质。尤其是在拓扑群的领域中，国外一些学者也证明了空间到Tychonoff空间的等价性。而这几年，Tkatchenko所研究的拓扑群的各种分离性的反射也是拓扑代数中的热门课题。
4. 计划与进度安排
1．2022年11月20日（大四学年度上学期第十周）：完成选题工作；
2．2022年12月11日：完成开题工作；
3．2022年3月19日前：完成初稿和中期检查工作；:
5. 参考文献
[1].Ryszard Engelking. General Topology[M]. Berlin, Heldermann:1989.
[2].Topologie I, Berlin 1935.
[3].Die Genesis des Raumbegriffs, Math, und Naturwiss. Berichte aus Ungarn 24 (1907),
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